Pembahasan Deret Aritmetika

Sudah lama juga ya blog ini tidak menghadirkan pembahasan soal yang ada, seribu alasan mungkin bisa dijadikan atas keterlambatan blog ini untuk bisa membahas soal - soal yang ada.Jujur saja kalau pengetikan pembahasan soal membutuhkan waktu yang lebih lama daripada hanya mengetik soal - soal tersebut.

Lamanya waktu yang dibutuhkan terletak pada penulisan equation ditambah lagi pembuatan gambar untuk beberapa materi yang harus dibuat agar pembahasan soalnya lebih mudah dimengerti. Meski lama tapi satu persatu soal yang ada di blog ini berusaha untuk diselesaikan, salah satu pembahasan yang baru saja saya selesaikan adalah materi deret aritmetika.

Sebenarnya ada keinginan untuk menyelesaikan pembahasan deret tersebut bersamaan dengan deret geometri, tetapi daripada harus menunggu lebih lama menunggu selesainya pembahasan deret geometri saya memutuskan untuk memisahkan pembahasannya, so buat anda yang memerlukan pembahasan deret aritmetika anda bisa mendowloadnya DISINI.

Btw, beberapa hari yang lalu ada sesuatu yang membuat saya kembali bersemangat untuk mengurus kembali blog ini setelah 1 tahun belakang agak terlantar. Yup, tahun 2010 menjadi titik terendah buat saya untuk berkonsentrasi mengurus blog ini yang berakibat saya jarang meng-update isi blog.

Semoga semangat itu terus tumbuh dan membuat saya terus bisa memberikan sharing sedikit pengetahuan saya tentang matematika, sehingga kehadiran blog ini benar - benar bisa dirasakan manfaatnya oleh anda semua.

Ngobrol Mat: Cara Asyik Belajar Matematika

“Vi, Vi, percaya enggak kalau Kak Asro bisa menebak isi hati seseorang!” kata Asro di suatu sore hari. Alvi duduk dekat ayah, sedangkan Asro duduk dekat Ibu.

“Ah, bohong, enggak percaya!”

“Oke, sekarang coba kamu pikirkan sebuah bilangan. Akan Kakak buktikan kalau Kakak bisa menebak bilangan yang kamu simpan dalam hatimu!” kata Asro pada Alvi.

“Iya, aku sudah memikirkan sebuah bilangan dalam hati!” kata Alvi menuruti kata-kata Asro.

“Sekarang, coba kalikan bilangan yang kamu simpan dengan 4,” lanjut Asro meminta Alvi.

“Sudah!”

“Hasilnya tambahkan dengan 5″

“Sudah!”

“Berapa hasil akhirnya?”

“17.”

“Mmm… pasti bilangan yang kamu simpan dalam hati adalah 3, bener, kan?”

“Haa… bener, kok bisa sih?”

“Hahaha… tuh kan akhirnya kamu percaya kalau Kak Asro bisa menebak isi hati seseorang!” kata Asro tertawa bangga.

“Kasih tahu, dong, caranya…” rengek Alvi.

===Dan seterusnya.===

Ya, itulah satu contoh penggalan isi buku “Ngobrol Mat: Cara Asyik Belajar Matematika” yang saya tulis dan baru saja diterbitkan oleh Gagasmedia, Jakarta, pada akhir Maret 2010 ini.

Buku ini mengandung obrolan-obrolan berbentuk cerita seputar matematika yang ditulis berdasarkan pengamatan, pengalaman sehari-hari, dan berlandasakan teori pendidikan matematika yang sedang digandrungi di berbagai belahan dunia saat ini. Obrolan-obrolan atau cerita matematika yang dituangkan bisa dikatakan sangatlah ringan dan dapat dinikmati siapa saja sebab ditulis dengan bahasa sederhana, bahasa obrolan sehari-hari berdasarkan pengamatan dan pengalaman. Tak hanya itu, buku tersebut ditulis berdasarkan hasil riset terbaru dalam bidang Realistic Mathematics Education yang tekanan utamanya adalah mengembangkan kemampuan problem solving atau pemecahan masalah dan berpikir kreatif, khususnya dalam matematika.

Selain dua kelebihan tersebut, buku “Ngobrol Mat” pun memiliki kelebihan-kelebihan lain yang tak dipunyai oleh buku-buku yang pernah hadir di tanah air. Pertama, obrolan-obrolan matematika yang ada tertuang lewat perilaku yang diperankan oleh tokoh cerita secara lugas, sederhana, cerdas, tak dibuat-buat, dan khas Indonesia. Anda yang membacanya, hampir dapat dipastikan, akan aktif terlibat dalam suasana cerita.

Kedua, ‘wajah’ matematika yang tampak di buku ini, bukanlah wajah matematika yang selama ini digambarkan oleh buku-buku matematika yang pernah ada. Tetapi yang tampak adalah ‘wajah’ matematika yang bersahabat, akrab bagi siapapun yang membacanya. Mengapa begitu? Matematika yang ditampilkan di buku ini adalah matematika yang benar-benar sesuai wujudnya sebagai “aktivitas manusia.”

Ketiga, untuk memahami buku ini, Anda tak perlu memiliki pengetahuan matematika yang tinggi. Cukup berbekal pengetahuan matematika SD, Anda akan dapat memahaminya dengan baik. Oleh karena itu, selain untuk umum, buku ini amat cocok dibaca oleh para siswa SD (khususnya mulai kelas 4), SMP, dan SMA.

Keempat, buku ini dapat dipakai oleh para mahasiswa calon guru, guru matematika sebagai bahan rujukan untuk mengenalkan matematika secara ringan, asyik, dan menyenangkan. Selain itu, buku ini dapat dimanfaatkan sebagai rujukan bagaimana mengajarkan matematika secara kreatif dan bakal disukai siswa.

Tentu, masih banyak lagi kelebihan-kelebihan lainnya. Tidak percaya? Silakan buktikan sendiri kelebihan-kelebihan yang sudah dikemukakan tadi, dan temukan kelebihan-kelebihan lainnya. Caranya? Tentu dengan membaca dan mengkritisi buku “Ngobrol Mat” ini. Ok?

Rahasia Rumus-rumus “Cepat” Matematika

Dulu, ketika saya masih baru menjadi anak kelas X SMA, saya berkenalan dengan salah seorang siswa baru lainnya yang di kemudian hari menjadi teman baik saya. Ketika awal perkenalan, kami pun ngobrol kesana-kemari. Tanya sana-tanya sini. Jawab sana, jawab sini. Hingga ia pun akhirnya bercerita bahwa nilai tes Matematika Dasar-nya, yaitu salah satu mata pelajaran yang diujikan di UMPTN*, adalah 100 alias benar semua.

Mendengar ceritanya tersebut, saya pun terkagum-kagum dibuatnya. Dalam pikiran saya, saya berkesimpulan “Wah ia pasti orang yang sangat pandai”. Rasa kagum saya mendorong rasa ingin tahu saya tentang pengetahuannya dalam matematika. Akhirnya, dalam masa awal perkenalan itu, saya ajak ia ngobrol tentang matematika yang sudah pernah kami pelajari ketika semasa SD sampai SMP dulu.

Dari obrolan tersebut, saya jadi tahu, ternyata ia benar-benar luas pengetahuan tentang matematika yang sudah dipelajarinya. Hingga akhirnya, mungkin untuk menunjukkan kepiawaiannya, ia mengajak saya adu cepat mengerjakan soal matematika.

Mendapat tantangan itu, sebenernya saya ngeper juga. Karena saya merasa tak sepandai dirinya. Namun, karena ini namanya juga bukan lomba dan bukan apa-apa, saya sih mau saja waktu itu. Soal-soal pun dipilih secara acak dari buku kumpulan soal-soal latihan tes UMPTN* dan EBTANAS** beberapa tahun sebelumnya yang masih rajin ia bawa ke mana-mana. Kemudian, adu cepat menyelesaikan soal matematika pun dimulai.

Soal: Bila a + 1/a = 5, maka nilai dari a³ + 1/a³ =…

Dengan cepat teman saya itu pun menyelesaikan soal tersebut seperti berikut ini:

a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ – 3a.1/a(a + 1/a) = 5³ – 3(5) = 125 – 15 = 110.

Melihat cara penyelesaiannya, saya hanya bisa melongo waktu itu. “Cuma satu baris? Padahal saya mencoba menyelesaikannya berbaris-baris, dan belum ketemu juga”, itu yang ada di pikiran saya. Kemudian, saya pun bertanya ke teman saya itu, kenapa cara pengerjaannya seperti itu?

Dengan senang hati, ia pun menjelaskan ke saya. Ia katakan bahwa, soal semacam tersebut dapat dengan mudah diselesaikan dengan rumus “cepat” berikut ini.

a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b) ………………………………..(1)

Dengan mengganti b dengan 1/a, katanya, maka soal tadi dapat diselesaikan dengan cepat seperti yang sudah dikerjakannya tadi.

Saya yang tak terbiasa menggunakan rumus “cepat” ketika di SMA dulu, penasaran ingin tahu alasan kenapa rumus “cepat” tersebut bisa dipakai. Tapi sayang, teman saya itu tak memberi tahu saya. Malahan ia menambah lagi rumus cepat yang sudah ia ketahuinya, yaitu:

a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)……………………………….(2)

Akhirnya, ngobrol-ngobrol pun beres. Ia bergegas pulang menuju kost-kost-annya. Saya pun begitu, pulang dengan rasa penasaran yang mengganjal.

Di kost-kost-an, dengan penuh rasa penasaran ingin tahu, saya pun mengutak-atik rumus “cepat” yang telah ia gunakan tersebut. Setelah beberapa waktu lamanya, akhirnya, terpecahkan juga rahasia rumus “cepat” yang dipakai teman saya tersebut. Saya berhasil menelusuri asal-muasal rumus “cepat” tersebut, berhasil menguak rahasianya. (Duh rasanya begitu senang sekali, tak bisa saya ekspresikan dengan kata-kata).

Hasil penelusuran saya tersebut, setelah saya rapikan, seperti berikut ini.

(a + b)³ = (a + b)²(a + b)

= (a² + 2ab + b²)( a + b)

= a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + b²a + b³

= a³ + b³ + 3a²b + 3ab²

= a³ + b³ + 3ab (a + b)

Jadi, (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b).

Sehingga, a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b). Rumus “cepat” (1) dapat saya buktikan kebenarannya. Kemudian, dengan cara serupa, saya pun berhasil menelusuri asal-muasal rumus “cepat” (2).

Walaupun apa yang telah saya lakukan tersebut sederhana, tapi bagi ukuran saya waktu itu adalah sesuatu yang menggembirakan hati, menyenangkan pikiran, dan memuaskan dahaga keingin-tahuan saya.

Sejak saat itu, bila ada rumus-rumus “cepat” yang saya temui di buku-buku bimbingan tes, saya pun terpacu untuk menelusuri asal-muasalnya. Dengan cara seperti itu, saya seringkali berhasil memecahkan rahasia rumus-rumus “cepat” yang selama ini beredar luas di kalangan siswa yang mengikuti bimbingan test.

Baiklah, segitu dulu saja ceritanya ya…, lain kali insya Allah saya akan membahas baik-buruknya penggunaan rumus “cepat” (Ada satu cerita yang sangat menggelikan tentang hal ini. Mau tahu? Silakan tunggu di postingan mendatang…). Sampai di sini dulu ya…, mudah-mudahan bermanfaat.

Sebagai bahan latihan untuk Anda, cobalah telusuri asal-muasal rumus-rumus “cepat” berikut ini.

1. Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab.
2. Perhatikan gambar berikut. Panjang PQ dapat ditentukan dengan mudah, yaitu:
   
   
   PQ = (AP. DC + DP. AB)/(AD)

Matematika itu sulit. Opini atau fakta?

" Kontribusi terbesar yang menjadikan matematika sulit, sebenarnya terletak pada cara penyajian mata pelajaran ini. Selama ini, kita disodori dengan rumus-rumus dan angka-angka yang “tidak diketahui” asal muasalnya, dan untuk apa kita mempelajarinya.

Padahal, bila saja matematika disampaikan dengan cara bermain, memecahkan kasus, dan tidak terlalu formula oriented, bisa jadi akan banyak siswa yang semula fobia dengan pelajaran ini menjadi berbalik arah. Mungkinkah matematika disampaikan dengan cara-cara di atas? " Dikutip dari Blog PAnji, 12 Agustus 209.

Bersama Matematika Akhlaq, anda akan menemukan metode belajar matematika yang tidak hanya menyenangkan tetapi juga akan lebih mudah karena pengajaran sesuai dengan kecerdasan majemuk anak, sehingga akan diterima dengan mudah oleh anak, juga menjadi memory jangka panjang. tidak sampai disitu, sesuai dengan namanya, anak tidak hanya mendapat pengajaran matematika tetapi juga akan mendapat penanaman akhlaq pada dirinya.. Apa gunanya cerdas taapi tidak berakhlaq mulia BUKAN.. ?

Tips Belajar Matematika

Introspeksi

Lihatlah sudut-sudut hati kecilmu dengan pandangan mata yang tajam dan pengamatan yang cermat.  Jika engkau mendapati sesuatu yang terpuji, maka pujilah Allah dan teruslah berlalu.  Akan tetapi, jika engkau melihat sesuatu yang menjengkelkan, maka ikutilah dengan evaluasi dan pemeriksaan yang baik terhadapnya (Al-Hars al-Muhasibi).

Menjadikan Anak Ahli Matematika

Friday, 29 December 2006

Alangkah bahagianya orang tua bisa melihat anaknya ahli dalam setiap pelajaran. Yang menjadi masalah bagi anak-anak Indonesia biasanya, tidak menyukai pelajaran-pelajaran yang dianggapnya sulit, misalnya matematika. Biasanya, orang tua akan mengkursuskan anaknya, untuk orang tua yang mampu. Akan tetapi, Anda sendiri sebenarnya bisa memaksimalkan kemampuan matematika anak-anak Anda. Bagaimana caranya? Berikut ini tips bagi Anda yang dirangkai dari berbagai sumber. 1. Pastikan Anak anda mengetahui konsep matematika yang ia pelajari. Jika anak Anda tidak mengetahui dasar dari matematika, maka anak Anda hanya akan mempeelajari matematika dengan hafalan. Padahal, matematika yang dihafal itu tidaklah ada artinya. Anda dapat memberitahukan dasar-dasar matematika pada mereka, sehingga mereka akan mudah memahami soal-soal yang sulit apabila mereka mengetahui dasarnya. 2. Bantulah mereka dengan menyertakan fakta-fakta. Penguasaan fakta dasar berarti bahwa anak dapat menjawab pertanyaan kurang dari tiga detik. Rumus praktis dapat Anda anjurkan pada anak Anda agar memperoleh respon yang cepat. Apabila anak Anda belum juga bisa memahami berilah contoh yang nyata. Misalnya, menghitung perkalian dengan memisalkan keramik yang ada pada lantai Anda. 3. Ajarkan pada anak Anda menulis angka-angka dengan teliti. Duapuluh lima persen kesalahan dalam menyelesaikan soal-soal matematika ditemukan oleh pengajar adalah kesalahan yang dikarenakan ketidaktelitian sang anak dalam menulis angka-angka. Perbaiki ketelitian anak Anda dalam menulis dan mengolah angka-angka dengan cara meneliti ulang apa latihan yang dia kerjakan. 4. Sediakan kebutuhan, yang digunakan anak Anda untuk belajar matematika, dengan cepat. Matematika adalah sebuah subjek yang semuanya dibangun dari apa yang sebelumnya telah dipelajari. Seabagai contoh, kegagalan dalam mengetahui dasar masalah perhitungan persen biasanya disebabkan oleh sang anak tidak menguasai masalah desimal. 5. Tunjukkan bagaimana cara menyelesaikan masalah pekerjaan rumahnya Mengerjakan tugas matematika mempertajam ilmu yang didapat dari sekolah untuk dipelajari di rumah. Ajarkan pada mereka untuk memulai mengerjakan tugas tersebut, dengan membuka buku atau mengulang pelajaran dan contoh-contoh yang telah diberikan oleh guru mereka lewat pelajaran sebelumnya disekolah. Jika kurang jelas, jelaskan padanya sampai ia bisa mengerti. 6. Dorong mereka untuk mengerjakan soal lain. Jika guru hanya memberikan soal-soal tertentu saja, berilah pada anak Anda contoh soal yang lain. Ingat, semakin anak Anda banyak berlatih makin semakin cepat mereka membentuk kemampuan dan kepercayaan diri mereka. 7. Jelaskan bagaimana cara menyelesaikan masalah soal cerita. Matematika mempunyai ekspresi, untuk belajar memecahkan masalah, Anda harus memecahkan masalah. Ajarkan pada anak Anda membaca soal cerita berkali-kali. Juga, suruhlah dia untuk menggambarkannya dalam bentuk soal matematika atau diagram. 8. Bantulah anak Anda mempelajari tata bahasa matematika. Mereka tidak akan dapat matematika secara nyata, tidak pula mempelajari konsep yang lebih menantang tanpa mengetahui tata bahasanya. Periksalah bahwa anak Anda dapat menemukan dan mengikuti masalah yang baru atau bab baru. Jika tidak, ajarkan padanya untuk menggunakan model atau contoh dan masalah yang sederhana terlebih dahulu. 9. Ajarkan pada mereka untuk mengerjakan metematika ?di luar kepala” Anak-anak kecil harus banyak menyelesaikan masalah perhitungan dengan menggunakan pensil dan kertas. Ketika membantu anak Anda menyelesaikan sebuah soal, bantulah mereka dengan mendiktekannya tanpa harus menuliskannya, sehingga anak akan berlatih menulis matematika sesuai apa yang dibayangkan. 10. Jadikanlah matematika bagian dalam hidup anak Anda. Matematika akan lebih berarti ketika anak Anda melihat bagaimana pentingnya matematika dalam kehidupan ini, dan dapat dilihat dimana-mana. Dorong mereka menggunakan matematika dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, tanyakan pada mereka jarak suatu tumbuhan baru ke suatu titik tertentu. Sumber : Tempo Online

matematika yang mudah

matematika itu sangat mudah, asalkan kita belajar dengan sungguh-sungguh, maka semuanya akan menjadi mudah..............
matematika tidak perlu di hafalkan seperti pelajaran yang lain akan tetapi matematika hanya perlu dipahami.................................. jika kita udah untuk memahami suatu pelajaran maka semuanya akan menjadi mudah.

Pelajaran matematika menyangkut semua pelajaran yang ada, dalam plajaran matematika semuanya memang semua orang mendengar kata matematika, pasti semua orang akan beranggapan bahwa matematika itu sangat amat sulit..........................
Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, relasi, perubahan, dan beraneka topik pola, bentuk, dan entitas. Para matematikawan mencari pola dan dimensi-dimensi kuantitatif lainnya, berkenaan dengan bilangan, ruang, ilmu pengetahuan alam, komputer, abstraksi imajiner, atau entitas-entitas lainnya.[1][2] Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filsafat matematika. Para matematikawan merumuskan konjektur dan kebenaran baru melalui deduksi yang menyeluruh dari beberapa aksioma dan definisi yang dipilih dan saling bersesuaian.
Euclid, matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh Raphael di dalam detail ini dari Sekolah Athena.[4]Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika hadir secara objektif di alam menurut kemurnian logikanya, atau apakah objek-objek itu buatan manusia dan terpisah dari kenyataan. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".[5] Albert Einstein, di pihak lain, menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.
Melalui penggunaan abstraksi dan penalaran logika, matematika dikembangkan dari pencacahan, penghitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematik terhadap bentuk dan gerak objek-objek fisika. Pengetahuan dan penggunaan matematika dasar selalu menjadi sifat melekat dan bagian utuh dari kehidupan individual dan kelompok. Pemurnian gagasan-gagasan dasar dapat diketahui di dalam naskah-naskah matematika yang bermula di dunia Mesir kuno, Mesopotamia, India, Cina, Yunani, dan Islam. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam buku Euclid, Elemen. Pengembangan berlanjut di dalam ledakan yang tidak menenteramkan hingga periode Renaisans pada abad ke-16, ketika pembaharuan matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, mengarah pada percepatan penelitian yang menerus hingga Kini.
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu pengetahuan alam, rekayasa, medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.
Secara umum, semakin kompleks suatu gejala, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekadar mendekati penyelesaian eksak seakurat-akuratnya. Jadi, tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, melainkan disebabkan oleh sulit dan kompleksnya gejala yang penyelesaiannya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut. Sebaliknya berbagai gejala fisika yang mudah diamati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tidak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmetika sudah cukup untuk mencari penyelesaian (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.